Zakres egzaminu na Studia Doktoranckie

Spis zagadnie艅 z podstawowej tematyki matematycznej dla kandydat贸w na studia doktoranckie na kierunki matematyka i matematyka stosowana
Poni偶szy spis odzwierciedla zakres tematyki obowi膮zuj膮cej wszystkich kandydat贸w. Konkretne has艂a maj膮 charakter przyk艂adowy. Uwaga: kandydat otrzymuje trzy pytania dotycz膮ce tematyki uj臋tej poni偶ej i odpowiada na dwa z tych pyta艅, wybrane przez siebie.

  1. Liczby rzeczywiste oraz zespolone i ich w艂asno艣ci. Ci膮gi i ich granice. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Warunek Cauchy`ego. Kryteria istnienia granicy.
  2. Szeregi liczbowe rzeczywiste i zespolone. Kryteria zbie偶no艣ci szereg贸w. Szeregi warunkowo i bezwgl臋dnie zbie偶ne. Mno偶enie szereg贸w.
  3. Funkcje. Ci膮g艂o艣膰 i jednostajna ci膮g艂o艣膰 funkcji. W艂asno艣ci funkcji ci膮g艂ych okre艣lonych na zbiorze zwartym. W艂asno艣膰 Darboux.
  4. Rachunek r贸偶niczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej. Twierdzenia Rolle`a i Lagrange`a. Badanie przebiegu funkcji.
  5. Szeregi funkcyjne. Zbie偶no艣膰 punktowa i jednostajna. Szeregi pot臋gowe. Promie艅 i ko艂o zbie偶no艣ci. Rozwini臋cie Taylora.
  6. Ca艂ka nieoznaczona. Ca艂ka Riemanna. Ca艂ki niew艂a艣ciwe.
  7. Pochodne cz膮stkowe i pochodna kierunkowa. Gradient. Jakobian. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Funkcje uwik艂ane.
  8. Teoria miary i ca艂ki Lebesgue`a. Przechodzenie do granicy pod znakiem ca艂ki. Twierdzenie Fubiniego.
  9. Ca艂ki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, Greena i Stokes`a.
  10. Funkcje analityczne. R贸wnania Cauchy-Riemanna. Wz贸r ca艂kowy Cauchy`ego. Zasada maximum.
  11. Przestrze艅 Banacha. Funkcjona艂y i operatory liniowe. Przestrze艅 sprz臋偶ona. Przestrze艅 Hilberta. Przestrzenie Lp. Przestrzenie funkcji ci膮g艂ych.
  12. Wyznaczniki i r贸wnania liniowe. Przestrzenie liniowe i afiniczne. Zbiory algebraiczne I i II stopnia i ich klasyfikacja.
  13. Grupy. Grupy cykliczne. Grupy permutacji. Homomorfizmy grup. J膮dro. Dzielnik normalny i grupa ilorazowa. Twierdzenie Lagrange`a o rz臋dzie podgrupy.
  14. Pier艣cienie przemienne. Idea艂. Idea艂y maksymalne i pierwsze. Homomorfizmy pier艣cieni. Dzielniki zera. Elementy odwracalne. Cia艂o u艂amk贸w.
  15. Cia艂a. Cia艂o proste. Charakterystyka cia艂a. Cia艂o algebraicznie domkni臋te, zasadnicze twierdzenie algebry. Pierwiastki z jedno艣ci.
  16. Przestrzenie metryczne i topologiczne. Sposoby wprowadzania topologii. Operacje na przestrzeniach. Twierdzenie Tichonova.
  17. Przekszta艂cenia ci膮g艂e. Twierdzenie Tietzego.
  18. Przestrzenie o艣rodkowe. Przestrzenie sp贸jne. Przestrzenie zwarte.
  19. Przestrzenie zupe艂ne. Zbi贸r Cantora i jego w艂asno艣ci.
  20. Grupa podstawowa. Twierdzenie Jordana o rozcinaniu. Twierdzenie Brouwera o punkcie sta艂ym.
  21. Warunkowa warto艣膰 oczekiwana, definicja, w艂asno艣ci, podstawowe charakterystyki i proste przyk艂ady dla zmiennych losowych dyskretnych i ci膮g艂ych.
  22. Rodzaje zbie偶no艣ci ci膮g贸w zbie偶nych losowych. Prawa wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne.
  23. Liniowe r贸wnania r贸偶niczkowe zwyczajne o sta艂ych wsp贸艂czynnikach.
  24. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno艣ci rozwi膮za艅 r贸wna艅 r贸偶niczkowych zwyczajnych.

Spis zagadnie艅 z rozszerzonej tematyki matematycznej dla kandydat贸w na studia doktoranckie na kierunki matematyka i matematyka stosowana
Poni偶szy spis odzwierciedla zakres tematyki obowi膮zuj膮cej wszystkich kandydat贸w. Konkretne has艂a maj膮 charakter przyk艂adowy.

I Statystyka i metody obliczeniowe.
Statystyki dostateczne, definicja i w艂asno艣ci. Testowanie hipotez statystycznych; poziom istotno艣ci i moc testu. Teoria estymacji -- nier贸wno艣膰 Cramera-Rao. Metody numeryczne rozwi膮zywania uk艂ad贸w r贸wna艅 liniowych i nieliniowych, numeryczna poprawno艣膰. Kwadratury numeryczne; proste i z艂o偶one. Rz膮d i b艂膮d kwadratury.

Numeryczna aproksymacja funkcji.

II R贸wnania r贸偶niczkowe cz膮stkowe.
Podstawowe typy zagadnie艅 brzegowych (brzegowo-pocz膮tkowych) dla r贸wna艅 eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych. Zagadnienie poprawnie postawione w sensie Hadamarda. Pojecia rozwi膮zania klasycznego i uog贸lnionego. Tw. Laxa-Milgrama. Zasady maksimum. Tw. Sobolewa o zanurzeniu i o 艣ladzie. Tw. O punkcie sta艂ym w zastosowaniu do nieliniowych r贸wna艅 r贸偶niczkowych cz膮stkowych. Zwi膮zki r贸wna艅 eliptycznych z zagadnieniami wariacyjnymi. Metoda Galerkina. Dystrybucje i rozwiazania podstawowe.

III Algebra i topologia.
Twierdzenie Baire`a i metoda kategorii. Przestrzenie nakrywaj膮ce, grupa podstawowa, nakrycie uniwersalne. Przestrzenie rzutowe. Wielo艣ciany. Rozmaito艣ci topologiczne.
Cia艂a sko艅czone. Mno偶enie tensorowe. Teoria podzielno艣ci w pier艣cieniach bez dzielnik贸w zera. Modu艂y nad pier艣cieniem.
Elementy algebraiczne wzgl臋dem cia艂a. Stopie艅 elementu algebraicznego. Cia艂o rozk艂adu wielomianu. Automorfizmy cia艂a. Zbiory algebraiczne. Przestrzenie rzutowe.

IV Analiza i geometria r贸偶niczkowa.
G艂adkie podrozmaito艣ci w przestrzeni euklidesowej i ich odwzorowania. Krzywizna i skr臋cenie krzywej w E3. Pierwsza i druga forma podstawowa rozmaito艣ci. Kierunki i krzywizny g艂贸wne. Krzywizna Gaussa i 艣rednia. Symbole Christoffela i Twierdzenie Egregium. Przesuni臋cie r贸wnoleg艂e. Krzywe geodezyjne. Rozmaito艣ci r贸偶niczkowe, mapy i atlasy. Rozmaito艣ci Riemanna. Rozmaito艣ci z brzegiem. Twierdzenie Stokesa na rozmaito艣ciach. Odwzorowania konforemne. Operatory zwarte na przestrzeniach Banacha.

Mapa strony | Linki | Prawa autorskie

Copyright © 2006 by IMPAN. All rights reserved.